已知动圆P过点N(5，0)并且与圆M：(x+5)2+y2=16相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．（Ⅰ）求轨迹W的方程；（Ⅱ）设直线l过点（m，0）（m＞2）且与轨迹W有两个不同的交点A，-数学试题及答案

1、试题题目：已知动圆P过点N(5，0)并且与圆M：(x+5)2+y2=16相外切，动圆圆心P的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

已知动圆P过点N(

5

，0)并且与圆M：(x+

5

)2+y2=16相外切，动圆圆心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设直线l过点（m，0）（m＞2）且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l斜率k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若

DA

?

DB

=0，证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标．

试题来源：崇文区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知|PM|-|PN|=4，|MN|=2

5

，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且a=2，c=

5

，b=1．
∴轨迹W的方程为

x2

4

-y2=1(x≥2)．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）（m＞2，k≠0）．
由

y=k(x-m)

x2

4

-y2=1

得（1-4k²）x²+8k²mx-4k²m-4=0．
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2m

4k2-1

＞0，①
x1x2=

4k2m2+4

4k2-1

＞0，②
△=64k⁴m²+4（1-4k²）（4k²m²+4）＞0．③
由①②③得4k²＞1．
∴直线l斜率k的取值范围是(-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，+∞)．
（Ⅲ）

DA

?

DB

=（x₁-2，y₁）?（x₂-2，y₂）
=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k（x₁-m）k（x₂-m）
=（1+k²）x₁x₂-（2+mk²）（x₁+x₂）+4+k²m²
=

(1+k2)(4k2m2)

4k2-1

-

(2+mk2)8mk2

4k2-1

+4+k2m2．
∵

DA

?

DB

=0，
∴

(1+k2)(4k2m2)

4k2-1

-

(2+mk2)8mk2

4k2-1

+4+k2m2=0，
∴（1+k²）（4k²m²）-（2+mk²）8mk²+（4+k²m²）（4k²-1）=0，
∴20k²-16k²m+3k²m²=0．
∵k≠0，
∴3m²-16m+20=0，解得m=

10

3

，或m=2（舍）．
∴直线l的方程为y=k(x-

10

3

)．
∴直线l过定点，定点坐标为(

10

3

，0)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动圆P过点N(5，0)并且与圆M：(x+5)2+y2=16相外切，动圆圆心P的..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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