设f(x)=23x3-2x+m(-43≤m≤43)．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）求方程f（x）=0的实数解的个数．-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)=23x3-2x+m(-43≤m≤43)．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设f(x)=

2

3

x3-2x+m(-

4

3

≤m≤

4

3

)．
（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）求方程f（x）=0的实数解的个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f'（x）=2x²-2，由f'（x）=2x²-2=0得 x=-1或x=1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	--	0	+
f（x）	单增	极大值	单减	极小值	单增

所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）；
极大值为f(-1)=m+

4

3

，极小值为f(1)=m-

4

3

．
（II）由于-

4

3

≤m≤

4

3

，所以f(-1)=m+

4

3

≥0，f(1)=m-

4

3

≤0．
①当m=-

4

3

时，f（-1）=0，即x=-1是方程f（x）=0的一个解．
又因为f(1)=-

4

3

-

4

3

=-

8

3

＜0， f(3)=

2

3

×27-6-

4

3

=12-

4

3

＞0，
所以，方程f（x）=0在（1，3）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有两个不同的解．
②当m=

4

3

时，f(1)=m-

4

3

=0，即x=1是方程f（x）=0的一个解．
又因为f(-1)=

4

3

+

4

3

=

8

3

＞0， f(-3)=-12+

4

3

＜0，
所以方程f（x）=0在（-3，-1）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有两个不同的解．
③当-

4

3

＜m＜

4

3

时，f(-1)=m+

4

3

＞0，f(1)=m-

4

3

＜0，所以方程f（x）=0在（-1，1）内至少有一个解．又由f（-3）=m-12＜0，知方程f（x）=0在（-3，-1）内至少有一个解；由f（3）=12+m＞0，知方程f（x）=0在（1，3）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有三个不同的解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=23x3-2x+m(-43≤m≤43)．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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