已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．（Ⅰ）用b表示a，并..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；
（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，设切点（x₀，y₀）
则f′（x₀）=2ax₀+b=-1，∴x0=

-b-1

2a

又∵

x0+y0=4

y0=ax02+bx

0得a=-

(b+1)2

16

，∵0＜x₀，0＜y₀，得0＜

-b-1

2a

＜4，解得b＞1
（II）S=

∫

-

b

a

0

(ax2+bx)dx=

1

6a2

b3=

128b3

6(b+1)4

，S′=

128b2(3-b)

3(b+1)5

；
所以在b=3时，S取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=

9

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．（Ⅰ）用b表示a，并..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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