已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．（1）求函数f（x）=x2形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；（2）函数g(x)=|1-1x|(x＞0)是否存在形如[a，b]-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为f（x）的保值区间．
（1）求函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间；
（2）函数g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x²≥0，∴n≥0，又f（x）=x²在[0，+∞）是增函数，故f（n）=n²，n²=n，∴n=0，或 n=1．
∴函数f（x）=x²形如[n，+∞）（n∈R）的保值区间有[0，+∞）或[1，+∞）．
（2）假设存在实数a，b使得函数g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间，
则a＞0，g(x)=

1

x

-1，(0，1)

1-

1

x

，[1，+∞)

．
1⁰当实数a，b∈（0，1）时，g(x)=

1

x

-1，(0，1)，此时，g（x）为减函数，
故

g(a)=b

g(b)=a

，即

1

a

-1=b

1

b

-1=a

，∴a=b与a＜b矛盾．
2⁰当实数a，b∈[1，+∞）时，
g(x)=1-

1

x

，∈[1，+∞)，此时，g（x）为为增函数，故

g(a)=a

g(b)=b

，即

1-

1

a

=a

1-

1

b

=b

，
得方程1-

1

x

=x在[1，+∞）上有两个不等的实根，而1-

1

x

=x，即x²-x+1=0无实根，
故此时不存在满足条件的实数a，b．
3⁰当a∈（0，1），b∈[1，+∞），
∵1∈（a，b），而g（1）=0．
故此时不存在满足条件的实数a，b．
综上述，不存在实数a，b使得函数g(x)=|1-

1

x

|(x＞0)，有形如[a，b]（a＜b）的保值区间．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的自变量的取值区间为A，若其值域区间也为A，则称A为..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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