已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x＜0时，f（x）＞0．（Ⅰ）验证函数g(x)=ln1-x1+x是否满足上述这些条件；（Ⅱ）你发现这样的函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数g(x)=ln

1-x

1+x

是否满足上述这些条件；
（Ⅱ）你发现这样的函数f（x）还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意，得

1-x

1+x

＞0，解之得-1＜x＜1，得函数的定义域为（-1，1）；…（2分）
∵g(x)+g(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

?

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

g(

x+y

1+xy

)=ln

1-

x+y

1+xy

1+

x+y

1+xy

=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

∴g(x)+g(y)=g(

x+y

1+xy

)成立，…（4分）
又∵当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1，可得g(x)=ln

1-x

1+x

＞0成立
综上所述，可得函数g(x)=ln

1-x

1+x

满足题意所述条件．…（6分）
（II）发现函数f（x）是区间（-1，1）上的奇函数，且是减函数．
证明如下
①将x=0代入条件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0
再令y=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）在（-1，1）上是奇函数．　…（9分）
②以-y代替y，代入条件得f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，
结合函数为奇函数得f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
当-1＜x＜y＜1时

x-y

1-xy

＜0，结合已知条件得f(

x-y

1-xy

)＞0
∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y），
因此，函数f（x）在（-1，1）上是减函数．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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