已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．（1）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；（2）求f（1）+f（6）+f（30）；-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意，都有x1f（x1）+x2f（x2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意

，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）；②对任意n∈N*都有f[f（n）]=3n．
（1）试证明：f（x）为N*上的单调增函数；
（2）求f（1）+f（6）+f（30）；
（3）令

，试证明：

，判断S_n与

的大小（不需要证明）

试题来源：广东省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由①知，对任意a，b∈N*，a＜b，都有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，
由于a﹣b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数．
（2）令f（1）=a，则a＞1，显然a≠1，
否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，
即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N*，从而a=2，即f（1）=2．
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54﹣27=81﹣54=27，
而且由（I）知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（30）=54+3=57．
从而f（1）+f（6）+f（30）=2+9+57=68．
（3），，a₁=f（3）=6．
即数列{a_n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．
∴．
于是，
显然，

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x），x∈N*，y∈N*，满足：①对任意，都有x1f（x1）+x2f（x2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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