已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=，(1)求证f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)=

，
(1)求证f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值．

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)由f(x)+f(y)=f(x+y)可得f(x+y)-f(x)=f(y)，
在R上任取x₁＞x₂，则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁-x₂)，
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
又∵x＞0时，f(x)＜0，
∴f(x₁-x₂)＜0，即f(x₁)-f(x₂)＜0，
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[ -3，3]上也是减函数，
∴f(-3)最大，f(3)最小，
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×

=-2，
∴f(-3)=f(4-3)-f(4)=f(1)-f(3)-f(1)=-f(3)=2，
即f(x)在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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