已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3?2sinx=0成立．（1）试求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[-π2，π2]的单调性，并用单调性定义予以证明；（3）若f(x)=-数学试题及答案

1、试题题目：已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3?2^sinx=0成立．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[-

π

2

，

π

2

]的单调性，并用单调性定义予以证明；
（3）若f(x)=

3

2

，求满足条件的所有实数x的集合．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵2f（x）+f（-x）-3?2^sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3?2^sin（-x）=0，
联立消去f（-x），可得f(x)=21+sinx-

1

2sinx

；
（2）f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增，
证明：任意x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，设x₁＜x₂，则

f(x1)-f(x2)=(21+sinx1-

1

2sinx1

)-(21+sinx2-

1

2sinx2

)

=2(2sinx1-2sinx2)+(

1

2sinx2

-

1

2sinx1

)

=(2sinx1-2sinx2)(2+

1

2sinx1+sinx2

)

因为x1，x2∈[-

π

2

，

π

2

]，所以sinx₁＜sinx₂，
所以2sinx1＜2sinx2，又2sinx1+sinx2＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增．
（3）由（2）过程容易知道，f（x）在[

π

2

，

3π

2

]上单调递减，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期为2π的周期函数．
设t=2^sinx，则t∈（0，2]，由2t-

1

t

=

3

2

，解得t=

2

或t=-

2

4

（舍）．
所以2sinx=

2

=2

1

2

，sinx=log22

1

2

=

1

2

，
故x=

π

6

+2kπ，k∈Z，或x=

5π

6

+2kπ，k∈Z．
故满足条件的所有实数x的集合为{x|x=

π

6

+2kπ，或x=

5π

6

+2kπ，k∈Z}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：