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1、试题题目：已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

  试题来源：上海模拟   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性、最值



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）当a=1，b=2时，f(x)=(x-1)2+(
2
x
-1)2=（x2+
4
x2
）-2（x+
2
x
）+2
令x+
2
x
=t（t≥2
2
），y=t2-2t-2=（t-1）2-3
∴函数在[2
2
，+∞）上单调增，∴y≥6-4
2

∴f（x）的最小值为6-4
2
；
（2）f（x）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）min≥2m-1
f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2=(
x
a
+
b
x
)2-2（
x
a
+
b
x
）-
2b
a
+2
令
x
a
+
b
x
=t（t≥2
b
a
），则y=t2-2t-
2b
a
+2
∴函数在[2
b
a
，+∞）上单调增，∴y≥2(
b
a
-2
b
a
+1)＞0
∴0≥2m-1
∴m≤0；
（3）因为
1
2
（a2+b2）≥(
a+b
2
)2，所以(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2＞
1
2
(
x
a
+
b
x
-2)2＞2(
b
a
-1)2
当a=k2，b=（k+c）2时，
b
a
=(1+
c
k
)2；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，
b
a
=(1+
c
k+c
)2
所以f1（x）+f2（x）＞2（
c
k
）2+2（
c
k+c
）2）＞
4c2
k(k+c)
（因为0＜a＜b，所以等号取不到）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。


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