设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．
（1）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）记函数p（x）=f（x）-g（x），若函数p（x）有零点，求m的取值范围．

试题来源：韶关模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1-x）+m=-x2+x+m=-(x-

1

2

)2+m+

1

4

∴当x=

1

2

时，f(x)max=m+

1

4

当x∈（1，m]时，f（x）=x（x-1）+m=x2-x+m=(x-

1

2

)2+m-

1

4

∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）_max=f（m）=m²
由m2≥m+

1

4

得：m2-m-

1

4

≥0又m＞1?m≥

1+

2

．
∴当m≥

1+

2

时，f（x）_max=m²；
当1＜m＜

1+

2

时，f(x)max=m+

1

4

．
（2）函数p（x）有零点即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，
即m=lnx-x|x-1|有解
令h（x）=lnx-x|x-1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x²-x+lnx
∵h′(x)=2x+

1

x

-1≥2

2

-1＞0
∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0
当x∈（1，+∞）时，h（x）=-x²+x+lnx．
∵h′(x)=-2x+

1

x

+1=

-2x2+x+1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0
∴函数h（x）在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）＜h（1）=0
∴方程m=lnx-x|x-1|有解时，m≤0，
即函数p（x）有零点时m≤0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．（1）当m＞1时，求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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