已知f（x）=（2x-3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+an（x-1）n（1）求a2的值；（2）求a1+a2+a3+…+an的值；（3）求f（20）-20除以6的余数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=（2x-3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）n=a0+a1（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

已知f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求f（20）-20除以6的余数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二项式定理与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）根据题意，f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，
则2ⁿ=512，解可得n=9；
（2x-3）⁹=[2（x-1）-1]⁹，则a₂=C₉⁷2²（-1）⁷=-144，
（2）在（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ中，
令x=1，可得a₀=（2×1-3）⁹=-1，
令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2×2-3）⁹=1，
则a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n-a₀=1-（-1）=2；
（3）f（20）-20=37⁹-20=（36+1）⁹-20=C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36+C₉⁹-20
=C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36-19；
因为（C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36）能被6整除，而-19=（-4）×6+5，即-19被6整除后余数为5；
则f（20）-20除以6的余数为5．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=（2x-3）n展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）n=a0+a1（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中二项式定理与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二项式定理与性质”。

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