已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β为参数，且0≤α＜β≤π．若f（θ）是一个与θ无关的定值，试确定其中的参数α，β的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β为参数，且0≤α＜β≤..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

已知f（θ）=sin²θ+sin²（θ+α）+sin²（θ+β），其中α，β为参数，且0≤α＜β≤π．若f（θ）是一个与θ无关的定值，试确定其中的参数α，β的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意得，f（θ）=

1-cos2θ

2

+

1-cos(2θ+2α)

2

+

1-cos(2θ+2β)

2

=

3

2

-

1

2

[cos2θ+cos（2θ+2α）+cos（2θ+2β）]
=

3

2

-

1

2

（cos2θ+cos2θcos2α-sin2θsin2α+cos2θcos2β-sin2θsin2β）
=

3

2

-

1

2

[cos2θ（1+cos2α+cos2β）-sin2θ（sin2α+sin2β）]
∵f（θ）是一个与θ无关的定值，
∴

1+cos2α+cos2β=0

sin2α+sin2β=0

，即

cos2α+cos2β=-1

sin2α+sin2β=0

，
两式平方相加得，2+2（cos2αcos2β+sin2αsin2β）=1
得cos（2α-2β）=-

1

2

，
∵0≤α＜β≤π，∴-2π≤2α-2β＜0，
则2α-2β=-

2π

3

或-

4π

3

，即α-β=-

π

3

或-

2π

3

，①
由sin2α+sin2β=0得，sin2α=-sin2β，
∵0≤α＜β≤π，∴2α=2π-2β或2α=π-（2π-2β），
即α+β=π或α-β=-

π

2

②
若α-β=-

π

3

时，只能满足②α+β=π，解得α=

π

3

，β=

2π

3

，
若α-β=-

2π

3

时，只能满足②α+β=π，解得α=

π

6

，β=

5π

6

．
代入检验，α=

π

6

和β=

5π

6

不满足1+cos2α+cos2β=0，故舍去，
综上得，α=

π

3

，β=

2π

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β为参数，且0≤α＜β≤..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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