如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．（2）若cos∠C=45，DF=3，求⊙O的半径．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-11-15 07:30:00

试题原文

如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N．求证：MN⊥BC．
（2）若cos∠C=

4

5

，DF=3，求⊙O的半径．

试题来源：柳州试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：三角形中位线定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：
（方法一）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于E，
由垂径定理得，点E是CD的中点；
又∵M是AD的中点，
∴ME是△DAC的中位线，
∴MN∥AC．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠MNB=90°，即MN⊥BC；
（方法二）∵AB⊥CD，∴∠AED=∠BEC=90°．
M是AD的中点，
∴ME=AM，即有∠MEA=∠A．
∵∠MEA=∠BEN，∠C=∠A，
∴∠C=∠BEN．
又∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE+∠BEN=90°，
∴∠BNE=90°，即MN⊥BC；
（方法三）∵AB⊥CD，∴∠AED=90°．
由于M是AD的中点，
∴ME=MD，即有∠MED=∠EDM．
又∵∠CBE与∠EDA同对

AC

，∴∠CBE=∠EDA．
∵∠MED=∠NEC，
∴∠NEC=∠CBE．
∵∠C+∠CBE=90°，
∴∠NEC+∠C=90°，
即有∠CNE=90°，即MN⊥BC．

（2）连接BD．
∵∠BCD与∠BAF同对

BD

，∴∠C=∠A，
∴cos∠A=cos∠C=

4

5

．

∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
在Rt△ABF中，cos∠A=

AB

AF

=

4

5

，
设AB=4x，则AF=5x，由勾股定理得：BF=3x．
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
∴

BF

AF

=

DF

BF

，
即

3x

5x

=

3

3x

，
x=

5

3

．
∴直径AB=4x=4×

5

3

=

20

3

，
则⊙O的半径为

10

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于..”的主要目的是检查您对于考点“初中三角形中位线定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中三角形中位线定理”。

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