如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC，设BC=4，BM=x，△MNC的面积为-数学试题及答案

1、试题题目：如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-10 07:30:00

试题原文

如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC，设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S_△MNC，△ABC的面积为S_△ABC。

（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S_△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S_△MNC与S_△ABC之间的关系；
②当S_△MNC=

S_△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由。

试题来源：湖南省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求一次函数的解析式及一次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）MN∥DE，
∴

，
又∵AD=AB，AE=AC，
∴

，
又∵∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，
∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°，即△MNC是直角三角形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2

，
∴△ABM∽△ACN，
∴

，
∴

；
（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴

，
∴AM=MB，
∵∠B=30°，
∴∠α=30°，∠AMC=60°，
又∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴△AMC是等边三角形，
∴AM=MC=BM=2，
∴

，
又∵

，
∴

；
②当

时，
∴则有

，解得x=1或x=3；
（i）当x=1时，在Rt△MNC中，MC=4-x=3，
∴

，
在Rt△AMN中，∠AMN=30°，
∴

，
∵

，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离；
（ii）当x=3时，同理可求出，NC=

，MC=1，MN=2，AN=1，
∴NC＞AN，
∴直线AD与⊙相交。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转..”的主要目的是检查您对于考点“初中求一次函数的解析式及一次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求一次函数的解析式及一次函数的应用”。

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