已知椭圆x24+y22=1的两焦点分别为F1，F2，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足PF1?PF2=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）当直线PA经-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x24+y22=1的两焦点分别为F1，F2，P是椭圆在第一象限内的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足

PF1

?

PF2

=1，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）当直线PA经过点（1，

2

）时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的倾斜角与斜率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由椭圆

x2

4

+

y2

2

=1可得c=

2

，∴两焦点分别为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．
设P（（x，y），由题意可得

x2

4

+

y2

2

=1

(-

2

-x，-y)?(

2

-x，-y)=1

x＞0，y＞0

，解得

x=

2

y=1

，∴P(

2

，1)．
（II）∵kPA=

1-

2

-1

=-1，两条直线PA，PB倾斜角互补，
∴k_PA+k_PB=0，解得k_PB=1．
因此直线PA，PB，的方程分别为y-1=-(x-

2

)，y-1=x-

2

，
化为x+y-

2

-1=0，x-y-

2

+1=0．
联立

x+y-

2

-1=0

x2+2y2=4

，解得

x=

2

y=1

（舍去），

x=

2

+4

3

y=

2

-1

3

，即A(

2

+4

3

，

2

-1

3

)．
同理解得B(

2

-4

3

，-

1+2

2

3

)．
∴k_AB=

-

1+2

2

3

-

2

-1

3

2

-4

3

-

2

+4

3

=

2

，∴直线AB的方程为y-

2

-1

3

=

2

(x-

2

+4

3

)，化为3

2

x-6y-4=0．
（III）S设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线PA的方程为：y-1=k(x-

2

)，则直线PB的方程为y-1=-k(x-

2

)．
联立

y-1=k(x-

2

)

x2+2y2=4

，解得A(

2

k2-4k-

2

1+2k2

，

-2k2-2

2

k+1

1+2k2

)．
同理B(

2

k2+4k-

2

1+2k2

，

-2k2+2

2

k+1

1+2k2

)，
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

4

2

k

8k

=

2

．
即直线AB的斜率为定值

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x24+y22=1的两焦点分别为F1，F2，P是椭圆在第一象限内的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的倾斜角与斜率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的倾斜角与斜率”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：