如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．（I）求证：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）若E为BC1的中点，求证：OE∥平面A1AB；（III）求直线A1C与-数学试题及答案

1、试题题目：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面节ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．
（I）求证：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为BC₁的中点，求证：OE∥平面A₁AB；
（III）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC．
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A₁（0，0，

3

），C₁（-2，0，

3

），E（-1，

1

2

，

3

2

）
则有：

AA1

=(-1，0，

3

)，

AB

=(-1，1，0)，

OE

=（-1，

1

2

，

3

2

）
设平面A₁AB的法向量为

n

=（x₀，y₀，z₀），则由

n

?

AA1

=0

n

?

AB

=0

，可得

-x0+

3

z0=0

-x0+y0=0

故可取

n

=(

3

，

3

，1)
∴

OE

?

n

=0
∵OE?平面A₁AB
∴OE∥平面A₁AB；
（III）∵C（-1，0，0），∴

A1C

=（-1，0，-

3

）
∵平面AA₁B的一个法向量为

n

=(

3

，

3

，1)
∴|cos＜

n

，

A1C

＞|=|

-

3

+0-

3

7

×2

|=

21

7

∵因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量

n

与

A1C

所成锐角互余，
∴sinθ=

21

7

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：