如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．（Ⅰ）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC的中点，∠C₁DC=60°．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-C的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．
∵∠C₁DC=60°，∴CC₁=

3

则A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），A₁（1，0，

3

），
B₁（0，

3

，

3

），C₁（-1，0，

3

）
连结B₁C交BC₁于O，则O是B₁C的中点，连结DO，则O(-

1

2

，

3

2

，

3

2

)
∴

AB1

=(-1，

3

，

3

)，

DO

=(-

1

2

，

3

2

，

3

2

)，
∴

AB1

=2

DO

．
∵AB₁?平面BC₁D，DO?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．…（5分）
（Ⅱ）

DC1

=(-1，0，

3

)，

C1B

=(1，

3

，-

3

)．
设平面BC₁D的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n

?

DC1

=0

n

?

C1B

=0

即

-x+

3

z=0

x+

3

y-

3

z=0

，则有y=0
令z=1，则

n

=（

3

，0，1），设平面BCC₁B₁的一个法向量是为

m

=（x'，y'，z'），

CC1

=(0，0，

3

)，

C1B

=(1，

3

，-

3

)，则

m

?

CC1

=0

m

?

C1B

=0

即

3

z′=0

x′+

3

y′-

3

z′=0

，∴z′=0．
令y'=-1，则

m

=（

3

，-1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m

?

n

|

m

|?|

n

|

=

3

4

∴二面角D-BC₁-C的大小为arccos

3

4

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，∠C1DC=60°．（Ⅰ）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：