已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（其中a为常数）；（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；（2）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，a3)，使得f（x0）＞g（x0），若存在，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（其中a为常数）；（1）如果..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-18 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，

a

3

)，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数零点的判定定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
则f′（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，得x=a或

a

3

，
而g（x）在x=

a-1

2

处有极大值，
∴

a-1

2

=a?a=-1，或

a-1

2

=

a

3

?a=3；
综上：a=3或a=-1．
（2）假设存在，即存在x∈（-1，

a

3

），
使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
当x∈（-1，

a

3

）时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在x∈（-1，

a

3

），使得x²+（1-a）x+1＜0，
1°当

a-1

2

＞

a

3

即a＞3时，(

a

3

)2+(1-a)

a

3

+1＜0得a＞3或a＜-

3

2

，
∴a＞3；
2°当-1≤

a-1

2

≤

a

3

即0＜a≤3时，

4-(a-1)2

4

＜0得a＜-1或a＞3，
∴a无解；综上：a＞3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（其中a为常数）；（1）如果..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数零点的判定定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数零点的判定定理”。

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