已知函数f（x）=（ax2﹣2x+1）·e﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（I）当时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（ax2﹣2x+1）·e﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（I）当时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（ax²﹣2x+1）·e^﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（I）当时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，求a的取值范围．

试题来源：四川省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（ I）当a=1时，f（x）=（x²﹣2x+1）●e^﹣x，
f'（x）=（2x﹣2）●e^﹣x﹣（x²﹣2x+1）●e^﹣x=﹣（x﹣1）（x﹣3）●e^﹣x
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

（ II）f'（x）=（2ax﹣2）●e^﹣x﹣（ax²﹣2x+1）●e^﹣x=﹣e^﹣x[ax²﹣2ax﹣2x+3]
令g（x）=ax²﹣2（a+1）x+3
①若a=0，则g（x）=﹣2x+3，在（﹣1，1）内，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减．
②若a＞0，则g（x）=ax²﹣2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，
对称轴为

，
当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（﹣1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减．
③若a＜0，则g（x）=ax²﹣2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当

，即

时，在（﹣1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减．
综上所述，函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减时，a的取值范围是

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（ax2﹣2x+1）·e﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（I）当时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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