发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-15 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)∵函数f(x)=(ax2+bx+c)ex, ∴f′(x)=[ax2+(2a+b)x+(b+c)]ex, 由
即
解得
经检验,f(x)=(x2-2x+1)ex满足题意. (Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=(x2-1)ex. (i)假设x>1时,f′(x)存在“保值区间[m,n]”,(n>m>1). ∵x>1时,f′(x)=(x2-1)ex>0, ∴f(x)在区间(1,+∞)是增函数, 依题意,
即
于是问题转化为(x-1)2ex-x=0有两个大于1的不等实根, 现在考察函数h(x)=(x-1)2ex-x(x≥1), h′(x)=(x2-1)ex-1. 令?(x)=(x2-1)ex-1, 则?′(x)=(x2+2x-1)ex, ∴当x>1时,?′(x)>0, ∴?(x)在(1,+∞)是增函数, 即h′(x)在(1,+∞)是增函数. ∵h′(1)=-1<0,h′(2)=3e2-1>0. ∴存在唯一x0∈(1,2),使得h′(x0)=0, 当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:
于是,h(x0)<h(1)=-1<0, ∵h(2)=e2-2>0, ∴当x>1时,h(x)的图象与x轴只有一个交点, 即方程(x-1)2e2-x=0有且只有一个大于1的根,与假设矛盾. 故当x>1时,f(x)不存在“保值区间”. (ii)f(x)存在“保值区间”,[0,1]是它的一个“保值区间”. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在x=1处取得极小值,其图象过点A(0,1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。