已知函数f（x）=ax2-gx（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（g为自然对数的底数）（Ⅰ）解关于x的不等式：f（x）＞f′（x）；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2-gx（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（g为自然对数的底..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²-g^x（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（g为自然对数的底数）
（Ⅰ）解关于x的不等式：f（x）＞f′（x）；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

试题来源：温州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导数可得f′（x）=2ax-g^x，∴f（x）-f′（x）=ax（x-2）…（4分）
原不等式等价于f（x）-f′（x）=ax（x-2）＞0，
当a=0时，无解；                                    …（5分）
当a＞0时，解集为{x|x＜0，或x＞2}；                  …（6分）
当a＜0时，解集为{x|0＜x＜2}                       …（7分）
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax-g^x，
则x₁，x₂是方程g（x）=0的两个根，则g′（x）=2a-g^x…（9分）
若a≤0时，g′（x）＜0恒成立，g（x）单调递减，方程g（x）=0不可能有两个根…（11分）
若a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，
当x∈（-∞，ln2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减 …（13分）
∴g_max（x）=g（ln2a）=2aln2a-2a＞0，解得a＞

e

2

…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2-gx（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（g为自然对数的底..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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