已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（ax-2）e^x在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

试题来源：房山区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f'（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e^x取得极小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减		增

所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m．
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)=

(m-2)em，	m≥1
-e，	0＜m＜1
(m-1)em+1，	m≤0

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
令f'（x）=0得x=1，
因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以f_max（x）=0，f_min（x）=-e，
所以，对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=e，

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（ax-2）ex在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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