设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点），点P到定点M(0，12)的距离比点P到x轴的距离大12．（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A-数学试题及答案

1、试题题目：设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点），点P到定点M(0，

1

2

)的距离比点P到x轴的距离大

1

2

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|=2

6

，求k的值；
（3）设点P的轨迹曲线为C，点Q（x₀，y₀）（x₀≤1）是曲线C上的一点，求以点Q为切点的曲线C的切线方程及切线倾斜角的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）过P作x轴垂线且垂足为N，由题意可知|PM|-|PN|=

1

2

而y≥0，∴|PN|=y，∴

x2+(y-

1

2

)2

=y+

1

2

化简得x²=2y（y≥0）为所求的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+1

x2=2y

，
得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，
x₁x₂=-2|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

，
∴k⁴+3k²-4=0，
而k²≥0，
∴k²=1，
∴k=±1．
（3）因为Q（x₀，y₀）在曲线C上，
∴x₀²=2y₀，
∴切点Q(x0，

1

2

x

20

)．
又y=

1

2

x2求导得y'=x，
∴切线斜率k=x₀
则切线方程为y-

1

2

x

20

=x0(x-x0)，
即2x₀x-2y-x₀²=0为所求切线方程，
又x₀≤1，
∴切线斜率k≤1，
∴倾斜角取值范围为[0，

π

4

]∪(

π

2

，π)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设点P（x，y）（y≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（O为坐标原点）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：