已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数a的取值范围；（3）求函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．
（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实数a的值；
（2）若存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=

1

x+1

+a
由f′（0）=0，得a=-1，此时f′（x）=

1

x+1

-1．
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故a=-1．
（2）∵f′（x）≥2x，∴

1

x+1

+a≥2x，∴a≥2x-

1

x+1

．
令g（x）=2x-

1

x+1

（1≤x≤2），
∴g′（x）=2+

1

(x+1)2

＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函数，
∴a≥g（1）=

3

2

．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立．
（3）f′（x）=

1

x+1

+a．
∵

1

x+1

＞0，
∴当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数．
当a＜0时，令f′（x）=0，x=-

1

a

-1；
若x∈（-1，-

1

a

-1）时，f′（x）＞0，
若x∈（-

1

a

-1，+∞）时，f′（x）＜0；
综上，当a≥0时，函数f（x）递增区间是（-1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）递增区间是：（-1，-

1

a

-1），递减区间是：（-

1

a

-1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（x+1）+ax．（1）当x=0时，函数f（x）取得极大值，求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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