已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．（1）求a的值；（2）证明：若x∈(0，12)，则f(x)＞32-x．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a

x

+lnx(a∈R)，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．
（1）求a的值；
（2）证明：若x∈(0，

1

2

)，则f(x)＞

3

2

-x．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．
∵x=1时函数y=f（x）取得极小值，
∴f′（1）=0，得a=1．
当a=1时，在（0，1）内f′（x）＜0，在（1，+∞）内f′（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．
故a=1．
（2）证明：f（x）＞

3

2

-x等价于：f（x）+x＞

3

2

．
令g（x）=f（x）+x，则g′(x)=

x-1

x2

+1=

x2+x-1

x2

，
令h（x）=x²+x-1，
∵h（0）=-1＜0，h（

1

2

）=-

1

4

＜0，
∴x∈(0，

1

2

)时，h（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，

1

2

）上单调递减．
∴g（x）＞g(

1

2

)，即g（x）＞2-ln2+

1

2

=

3

2

+(1-ln2)＞

3

2

，
∴f（x）+x＞

3

2

，
故f（x）＞

3

2

-x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，当x=1时，函数y=f（x）取得极小值．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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