设函数f（x）=ax2+bx+34在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；（Ⅲ-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax2+bx+34在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax²+bx+

3

4

在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；
（Ⅲ）设函数g（x）=

ex

f(x)

，若方程g（x）=m有三个不相等的实根，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+

3

4

，故f′（x）=2ax+b
又f（x）在x=0处取得极限值，故f ′(0)=0，从而b=0
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直可知该切线斜率为2，
即f ′(1)=2，有2a=2，从而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+

3

4

，
联立直线与曲线方程得到x=-

3

2

或x=1
故曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为
S=

∫

1-

3

2

(-

1

2

x+

9

4

)-(x2+

3

4

)dx=

∫

1-

3

2

(-x2-

1

2

x+

3

2

)dx
=(-

1

3

x3-

1

4

x2+

3

2

x)

|

1-

3

2

=

125

48

；
（Ⅲ）g ′(x)=

ex?(x2+

3

4

)-2x?ex

(x2+

3

4

)2

=

ex?(x2-2x+

3

4

)

(x2+

3

4

)2

令g ′(x)=0，得到x1=

1

2

，x2=

3

2

根据x₁，x₂列表，得到函数的极值和单调性

x

(-∞，

1

2

)

1

2

(

1

2

，

3

2

)

3

2

(

3

2

，+∞)

f ′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

增

极大值

减

极小值

增

∴函数g（x）的极大值为 g(

1

2

)=e

1

2

，函数g（x）的极小值为g(

3

2

)=

1

3

e

3

2

∴

1

3

e

3

2

＜m＜e

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax2+bx+34在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：