已知函数f（x）=x3-32ax2+a，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（4，f（4））处切线的斜率为12，求a的值；（II）若x∈[0，1]，求函数f（x）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-32ax2+a，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（4，f（4））处切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x3-

3

2

ax2+a，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（4，f（4））处切线的斜率为12，求a的值；
（II）若x∈[0，1]，求函数f（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f（x）的定义域为R …（1分）
∵f（x）=x3-

3

2

ax2+a，∴f′（x）=3x²-3ax…（2分）
又∵曲线y=f（x）在点（3，f（3））处切线的斜率为12，
∴f'（3）=12
∴3×3²-9a=0…（5分）
∴a=3                                                      …（6分）
（II）∵f′（x）=3x²-3ax
由 f′（x）=3x²-3ax=0得x₁=0，x₂=a                    …（7分）
当a≤0时，在区间（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=0时，函数f（x）有最小值是f（0）=a；   …（9分）
当0＜a＜1时，在区间（0，a）上f（x）＜0，f（x）单调递减，在区间（a，0）上f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x=a时，函数f（x）有最小值是f(a)=-

1

2

a3+a； …（11分）
当a≥1时，在区间（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）有最小值是f(1)=1-

a

2

．
综上可得，当a≤0时，函数f（x）的最小值是f（0）=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值是f(a)=-

1

2

a3+a；
当a≥1时，函数f（x）的最小值是f(1)=1-

a

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-32ax2+a，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（4，f（4））处切..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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