已知函数f（x）=x+2x+1-a1nx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=1，求f（x）在区间[1，e2]上的值域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x+2x+1-a1nx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x+

2

x

+1-a1nx（a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=1，求f（x）在区间[1，e²]上的值域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=x+

2

x

+1-a1nx，a＞0
∴f′（x）=1-

2

x2

-

a

x

=

x2-ax-2

x2

，x＞0
令y=x²-ax-2（x＞0）
△=a²+8＞0恒成立，即y=0有两个不等根

a±

a2+8

2

，
由x²-ax-2＞0，得x＞

a+

a2+8

2

，由x²-ax-2＜0，得 0＜x＜

a-

a2+8

2

综上，函数f（x）在（0，

a-

a2+8

2

）上是减函数，在（

a+

a2+8

2

，+∞）上是增函数．
（2）当a=1时，由（1）知f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
故函数在[1，2]是奇函数，在[2，e²]上是增函数
又f（1）=4，f（2）=4-ln2，f（e²）=e²+

2

e2

-1＞4
∴f（x）在区间[1，e²]上值域是[4-ln2，e²+

2

e2

-1]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+2x+1-a1nx（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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