已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，（1）求c的值；（2）当a＞0，b=3a时，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}?[-3，2]成立的实数a的取值范围；-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，
（1）求c的值；
（2）当a＞0，b=3a时，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}?[-3，2]成立的实数a的取值范围；
（3）若f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反，求

b

a

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=0有极值，
∴f'（0）=0
∴c=0
（2）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，得f（-2）=-8a+12a+d=0，即d=-4a
∴f（x）=ax³+3ax²-4a，
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）
由f'（x）=0得x=0或x=-2
当a＞0时

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4a	↗	0	↘	-4a	↗	16a

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a
所以

a＞0

16a≤2

-4a≥-3

，即 0＜a≤

1

8

，故 a的取值范围是 (0，

1

8

]．
（3）f'（x）=3ax²+2bx，
由f'（x）=x（3ax+2b）=0，得x=0或 x=-

2b

3a

∵f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反
∴-4≤-

2b

3a

≤-2，
故 3≤

b

a

≤6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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