已知函数f（x）=exlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e2x-1；（3）设n∈N*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=exlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e^2x-1；
（3）设n∈N^*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．

试题来源：南昌模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）定义域为（0，+∞），由f′（x）=e^xlnx（lnx+1），
令f′(x)＞0，解得x＞

1

e

；令f′(x)＜0，解得0＜x＜

1

e

．
故f（x）的增区间：(

1

e

，+∞)，减区间：(0，

1

e

)，
（2）即证：(x+1)ln(x+1)＞2x-1?ln(x+1)＞

2x-1

x+1

?ln(x+1)-

2x-1

x+1

＞0
令g(x)=ln(x+1)-

2x-1

x+1

，由g′(x)=

1

x+1

-

3

(x+1)2

=

x-2

(x+1)2

，
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）_min=g（2）=ln3-1，
故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3-1＞0得证，
（3）由（2）得ln(x+1)＞

2x-1

x+1

，即ln(x+1)＞2-

3

x+1

，
所以ln[k(k+1)+1]＞2-

3

k(k+1)+1

＞2-

3

k(k+1)

，
则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1＞(2-

3

1×2

)+(2-

3

2×3

)+…+[2-

3

n(n+1)

]=2n-3+

3

n+1

＞2n-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=exlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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