已知函数f(x)=3xa-2x2+lnx（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=3时，求在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=3xa-2x2+lnx（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=3时，求在点（1，f（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

3x

a

-2x2+lnx（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）当a=3时，求在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=3时，f（x）=x-2x²+lnx，
则f′（x）=1-4x+

1

x

，且f（1）=-1，
∴f′（1）=-2，
∴在点（1，f（1））处的切线方程是y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0，
（2）由题意得，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

，
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，
∴x∈[1，2]时，f′(x)=

3

a

-4x+

1

x

≥0恒成立，
即

3

a

≥4x-

1

x

对x∈[1，2]恒成立，
设h（x）=4x-

1

x

，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∴

3

a

≥h(2)=4×2-

1

2

=

15

2

，解得0＜a≤

2

5

，
故a的取值范围是（0，

2

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=3xa-2x2+lnx（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=3时，求在点（1，f（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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