已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[-

a

2

，-

b

3

]，求：
（1）函数h（x）在区间（一∞，-1]上的最大值M（a）；
（2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，则f'（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，c）为公共切点，可得：4a=12+b ①
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，与①联立可得：a=

17

4

，b=5．
（2）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
则h′（x）=3x²+2ax+b，
因函数h（x）的单调递减区间为[-

a

2

，-

b

3

]，∴当x∈[-

a

2

，-

b

3

]时，3x²+2ax+b≤0恒成立，
此时，x=-

b

3

是方程3x²+2ax+b=0的一个根，得3（-

b

3

）²+2a（-

b

3

）+b=0，得a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+

1

4

a²x+1
令h'（x）=0，解得：x₁=-

a

2

，x₂=-

a

6

；
∵a＞0，∴-

a

2

＜-

a

6

，列表如下：

x

（-∞，-

a

2

）

-

a

2

（-

a

2

，-

a

6

）

-

a

6

（-

a

6

，+∞

h′（x）

+

-

+

h（x）

极大值

极小值

∴原函数在（-∞，-

a

2

）单调递增，在（-

a

2

，-

a

6

）单调递减，在（-

a

6

，+∞）上单调递增
①若-1≤-

a

2

，即a≤2时，最大值为h（-1）=a-

a2

4

；
②若-

a

2

＜-1＜-

a

6

，即2＜a＜6时，最大值为h（-

a

2

）=1
③若-1≥-

a

6

时，即a≥6时，最大值为h（-

a

2

）=1．
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为h（-1）=a-

a2

4

；当a∈（2，+∞）时，最大值为h（-

a

2

）=1．
（2）由（1）知，函数h（x）在（-∞，-

a

2

）单调递增，在（-

a

2

，-

a

6

）单调递减，在（-

a

6

，+∞）上单调递增
故h（-

a

2

）为极大值，h（-

a

2

）=1；h（-

a

6

）为极小值，h（-

a

6

）=-

a3

54

+1；
∵|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，又h（0）=1．
∴

h(-2)≥-3

h(-

a

6

)≥-3

即

-

1

2

a2+4a-7≥-3

-

a3

54

+1≥-3

，解得

4-2

2

≤a≤4+2

2

a≤6

∴a的取值范围：4-2

2

≤a≤6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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