已知函数f（x）=eaxlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=eaxlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^axlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数的定义域为（0，+∞）．f′（x）=ae^axlnx+e^ax×

1

x

=e^ax（alnx+

1

x

）． …（2分）
①当a=0时，f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函数； …（3分）
②当a＜0时，∵

lim

x→+∞

lnx=+∞，

lim

x→+∞

1

x

=0，
∴

lim

x→+∞

(alnx+

1

x

)=-∞，
又∵e^ax＞0，∴当x→+∞时，f′（x）＜0，
与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾；…（5分）
③当a＞0时，设g（x）=alnx+

1

x

则g′（x）=

a

x

-

1

x2

=

a

x2

(x-

1

a

)．
若0＜x＜

1

a

时，g′（x）＜0，x＞

1

a

时，g′（x）＞0
∴g（x）在x=

1

a

时取得最小值即g（x）的最小值为g（

1

a

）=-alna+a=a（1-lna）． …（8分）
（i）当0＜a＜e，则g（

1

a

）＞0，从而f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（ii）当a=e，则g（

1

a

）=0，其余各点处g（x）＞0，从而f′（x）≥0（仅在x=

1

a

时取等号），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（iii）当a＞e，则g（

1

a

）＜0，从而f′（

1

a

）＜0，与f（x）在（0，+∞）上递增矛盾．…（11分）
综上所述，a的取值范围是[0，e]． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=eaxlnx在定义域内是增函数，求实数a的取值范围．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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