已知函数f（x）=（13）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f2（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（13）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f2（x）-2af（x）+3的最小..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（

1

3

）^x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f²（x）-2af（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f(x)=(

1

3

)x，x∈[-1，1]，
知f(x)∈[

1

3

，3]，
令f(x)∈[

1

3

，3]
记g（x）=y=t²-2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：
①当a≤

1

3

时，g（x）的最小值h（a）=

28

9

-

2a

3

②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③当

1

3

＜a＜3时，g（x）的最小值h（a）=3-a²
综上所述，h(a)=

28

9

-

2a

3

?a≤

1

3

3-a2?

1

3

＜a＜3

12-6a?a≥3

（2）当a≥3时，h（a）=-6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数，
所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]．
由题意，则

h(m)=n2

h(n)=m2

?

-6m+12=n2

-6n+12=m2

，
两式相减得6n-6m=n²-m²，
又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，
故不存在满足题中条件的m，n的值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（13）x，x∈[-1，1]，函数g（x）=f2（x）-2af（x）+3的最小..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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