对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）+b?f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数-数学试题及答案

1、试题题目：对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-26 07:30:00

试题原文

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f₁（x）+b?f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：f1(x)=sinx， f2(x)=cosx， h(x)=sin(x+

π

3

)；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设f1(x)=log2x， f2(x)=log

1

2

x， a=2， b=1，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设f1(x)=x， f2(x)=

1

x

(1≤x≤10)，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

试题来源：怀柔区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数、映射的概念

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）①设asinx+bcosx=sin(x+

π

3

)，即asinx+bcosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx，
取a=

1

2

， b=

3

2

，所以h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函数．（2分）
②设a（x²+x）+b（x²+x+1）=x²-x+1，即（a+b）x²+（a+b）x+b=x²-x+1，
则

a+b=1

a+b=-1

b=1

，该方程组无解．
所以h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数．（4分）

（Ⅱ）h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log

1

2

x=log2x（5分）
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
3h²（x）+2h（x）+t＜0，即t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x（7分）
设s=log₂x，则s∈[1，2]，y=-3log₂²x-2log₂x=-3s²-2s，（9分）
y_max=-5，故，t＜-5．（10分）

（Ⅲ）由题意，得h(x)=x+

b

x

(1≤x≤10)
1°若

b

∈[1， 10]，则h（x）在[ 1 ，

b

]上递减，在[

b

，10]上递增，
则hmin=h(

b

)=2

b

，
所以

1≤

b

≤10

2

b

≥b

，得1≤b≤4（12分）
2°若

b

≤1，则h（x）在[1，10]上递增，则h_min=h（1）=1+b，
所以

b

≤1

1+b≥b

，得0＜b≤1．（14分）
3°若

b

≥10，则h（x）在[1，10]上递减，则hmin=h(10)=10+

b

10

，故

b

≥10

10+

b

10

≥b

，无解
综上可知，0＜b≤4．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a?f1（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数、映射的概念”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数、映射的概念”。

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