如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-12 07:30:00

试题原文

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小，若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由。

图1 图2 图3

试题来源：广东省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：解得：a=-1， ∴所求抛物线的解析式为：；
（2）如图1，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x=2代入抛物线，得 ∴点E坐标为（2，3）又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y=0时，， ∴x=-1或x=3 当x=0时，y=-1+4=3， ∴点A（-1，0），点B（3，0），点D（0，3）又∵抛物线的对称轴为：直线x=1， ∴点D与点E关于PQ对称，GD=GE…………………② 分别将点A（-1，0）、点E（2，3）代入y=kx+b，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y=x+1 ∴当x=0时，y=1 ∴点F坐标为（0，1） ∴=2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，-1） ∴………④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG+GH+HI最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知， DG+GH+HF=EG+GH+HI 只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小设过E（2，3）、I（0，-1）两点的函数解析式为：，分别将点E（2，3）、点I（0，-1）代入，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x-1 ∴当x=1时，y=1；当y=0时，x=； ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0） ∴四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④，可知： DF+EI= ∴四边形DFHG的周长最小为。	图1
（3）如图2，由题意可知，∠NMD=∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：………………………………⑤ 设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴ 再由（1）、（2）可知，AM=1+a，BD=，AB=4 ∴ ∵， ∴⑤式可写成：解得：或（不合题意，舍去） ∴点M的坐标为（，0）又∵点T在抛物线图像上， ∴当x=时，y= ∴点T的坐标为（，）。	图2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A、B，交y..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：解得：a=-1， ∴所求抛物线的解析式为：；
（2）如图1，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF=HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x=2代入抛物线，得 ∴点E坐标为（2，3）又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D ∴当y=0时，， ∴x=-1或x=3 当x=0时，y=-1+4=3， ∴点A（-1，0），点B（3，0），点D（0，3）又∵抛物线的对称轴为：直线x=1， ∴点D与点E关于PQ对称，GD=GE…………………② 分别将点A（-1，0）、点E（2，3）代入y=kx+b，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y=x+1 ∴当x=0时，y=1 ∴点F坐标为（0，1） ∴=2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，-1） ∴………④ 又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG+GH+HI最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知， DG+GH+HF=EG+GH+HI 只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小设过E（2，3）、I（0，-1）两点的函数解析式为：，分别将点E（2，3）、点I（0，-1）代入，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x-1 ∴当x=1时，y=1；当y=0时，x=； ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0） ∴四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④，可知： DF+EI= ∴四边形DFHG的周长最小为。	图1
（3）如图2，由题意可知，∠NMD=∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：………………………………⑤ 设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴ 再由（1）、（2）可知，AM=1+a，BD=，AB=4 ∴ ∵， ∴⑤式可写成：解得：或（不合题意，舍去） ∴点M的坐标为（，0）又∵点T在抛物线图像上， ∴当x=时，y= ∴点T的坐标为（，）。	图2