已知函f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|12≤x≤2}且M∩P≠?求实数a的取值范围；（3）已知n∈N+，且Sn=∫n0f（x）dx，是否存在等差-数学试题及答案

1、试题题目：已知函f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-21 07:30:00

试题原文

已知函f（x）=e^x-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠?求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N⁺，且S_n=∫_n⁰f（x）dx，是否存在等差数列{a_n}和首项为f（I）公比大于0的等比数列{b_n}，使得a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…b_n=S_n？若存在，请求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式．若不存在，请说明理由．

试题来源：贵溪市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1；由f′（x）=0，得x=0，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；∴函数f（x）的最小值为f（0）=1．
（2）∵M∩P≠?，∴f（x）＞ax在区间[

1

2

，1]有解，由f（x）＞ax，得e^x-x＞ax，即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解；
令g（x）=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]，则g′（x）=

(x-1)ex

x2

，∴g（x）在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增；
又g（

1

2

）=2

e

-1，g（2）=

e2

2

-1，且g（2）＞g（

1

2

），∴g（x）的最大值为g（2）=

e2

2

-1，∴a＜

e2

2

-1．
（3）设存在公差为d的等差数列{a_n}和公比为q（q＞0），首项为f（1）的等比数列{b_n}，
使a₁+a₂+…+a_n+b₁+b₂+…+b_n=S_n
∵Sn=

∫

n0

f(x)dx=

∫

n0

(ex-x)dx=(ex-

1

2

x2)|_n=en-

1

2

n2-1；且b₁=f（1）=e-1，
∴a1+b1=S1即a1+e-1=e-

3

2

；∴a₁=-

1

2

，又n≥2时，a_n+b_n=s_n-s_n-1=e^n-1（e-1）-n+

1

2

；
故n=2，3时，有

-

1

2

+d+(e-1)q=e(e-1)-

3

2

①

-

1

2

+2d+(e-1)q2=e2(e-1)-

5

2

②

；
②-①×2得，q²-2q=e²-2e，解得q=e，或q=2-e（舍），故q=e，d=-1；
此时a_n=-

1

2

+（n-1）（-1）=

1

2

-n，bn=(e-1)en-1且an+bn=(e-1)en-1+

1

2

-n=Sn-Sn-1；
∴存在满足条件的数列{a_n}，{b_n}满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最小值；（2）不等..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：