数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅲ）设bn=1n?2n+1an，求数列{bn}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{

2n

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设bn=

1

n?2n+1

an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知可知

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，即

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1
∴数列{

2n

an

}是公差为1的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=

2

a1

+(n-1)×1=2+(n-1)×1=n+1，∴an=

2n

n+1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=

1

n?2n+1

an=

1

n?2n+1

×

2n

n+1

∴bn=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(1-

1

2

)+

1

2

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2

(

1

n

1

n+1

)=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

2(n+1)

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{2nan}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：