设数列{bn}的n项和为Sn，且bn=1-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若cn=an?bn，n=1，2，3，…，Tn为数列{cn}的前n项和．求证：Tn＜74．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{bn}的n项和为Sn，且bn=1-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

设数列{b_n}的n项和为S_n，且b_n=1-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n?b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：T_n＜

7

4

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由b_n=1-2S_n，令n=1，则b₁=1-2S₁，又S₁=b₁
所以b₁=

1

3

…（2分）
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即

bn

bn-1

=

1

3

…（4分）
所以{b_n}是以b₁=

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
于是b_n=

1

3n

…（6分）
（2）数列{a_n}为等差数列，公差d=

1

2

（a₇-a₅）=3，可得a_n=3n-1…（7分）
从而c_n=a_n?b_n=（3n-1）?

1

3n

，
∴T_n=2?

1

3

+5?

1

32

+8?

1

33

+…+（3n-1）?

1

3n

，

1

3

Tn=2?

1

32

+5?

1

33

+…+（3n-4）?

1

3n

+（3n-1）?

1

3n+1

∴

2

3

T_n=2?

1

3

+3?+3?

1

32

+…+3?

1

3n

-

1

3

-（3n-1）?

1

3n+1

=

7

6

-

6n+7

2?3n+1

…（11分）
∴Tn=

7

4

-

6n+7

4?3n

＜

7

4

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{bn}的n项和为Sn，且bn=1-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：