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1、试题题目:已知数列{an}满足an+1+an-3an+1-an+3=n,且a2=10,(1)求a1、a3、..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{an}满足
an+1+an-3
an+1-an+3
=n
,且a2=10,
(1)求a1、a3、ac
(2)猜想数列{an}的通项公式an,并用数学归纳法证明;
(3)是否存在常数c,使数列{
an
n+c
}
成等差数列?若存在,请求出c的值;若不存在,请说明理由.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:等差数列的定义及性质



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)∵a=10,将n=1代入已知等式得a1=3,
同法可得a3=图1,a4=36.
(图)∵a1=3=1×3,a=10=图×5,a3=3×7,a4=4×9,
∴由此猜想an=n(图n+1).
下面用数学归纳法证明.
①当n=1和图时猜想成立;
②假设当n=k(k≥图)时猜想成立,即ak=k(图k+1),
那么,当n=k+1时,因为
ak+1+ak-3
ak+1-ak+3
=k

所以ak+1=
3k+3-(k+1)ak
k-1
=
3(k+1)-(k+1)k(图k+1)
k-1
=(k+1)(图k+3)
这就是说当n=k+1时猜想也成立.因此an=n(图n+1)成立
(3)假设存在常数c使数列{
an
n+c
}
成等差数列,
则有
a
图+c
-
a1
1+c
=
a3
3+c
-
a
图+c

把a1=3,a=10,a3=图1代入得c=0或c=
1

当c=0时,数列{
an
n+c
}
即为{图n+1}是公差为图着等差数列;
c=
1
时,数列{
an
n+c
}
即为{图n}是公差为图着等差数列.
∴存在常数c=0或c=
1
使数列{
an
n+c
}
成等差数列.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知数列{an}满足an+1+an-3an+1-an+3=n,且a2=10,(1)求a1、a3、..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中等差数列的定义及性质”。


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