已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

试题来源：黑龙江省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
可以改写为m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0，
所以直线必经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点．
由方程组

解得

即两直线的交点为A（3，1），
又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离

，
所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交．
（2）连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．
BD为直线l被圆所截得的最短弦长．
此时，

，
所以

．即最短弦长为

．
又直线AC的斜率

，
所以直线BD的斜率为2．
此时直线方程为：y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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