已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

已知圆C：（x﹣1）²+（y﹣2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

试题来源：黑龙江省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交，
即要证直线l横过过圆C内一点，
方法是把直线l的方程改写成
m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0可知，
直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点，
联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标，
然后利用两点间的距离公式
求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；
（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径，
最短的弦是过A垂直于直径的弦，
所以连接AC，过A作AC的垂线，
此时的直线与圆C相交于B、D，
弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，
根据垂径定理可得A是BD的中点，
利用（1）圆心C到BD的距离
其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，
根据勾股定理可求出

|BD|的长，
求得|BD|的长即为最短弦的长；
根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，
然后根据两直线垂直时斜率乘积为
﹣1求出直线BD的斜率，
又直线BD过A（3，1），
根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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