已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：①双曲线的一条准线被-数学试题及答案

1、试题题目：已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A1，A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为

2ab

a2+b2

；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为

2

；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是______．

试题来源：石景山区一模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与双曲线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

双曲线的渐进线为y=±

b

a

x，准线方程为x=

a2

c

，代入渐进线方程得y=±

ab

c

=

ab

a2+b2

∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×

ab

a2+b2

=

2ab

a2+b2

故①正确．
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=（e-1）|PF₂|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）?（e-1）≤2，解得，e≤1+

2

所以e的最大值是1+

2

②不正确．
设△PF₁F₂的内切圆的圆心为O，内切圆切PF₁于A点，PF₂于B点，F1F₂于C点，
因为是内切圆，所以有OA⊥PF₁，OB⊥PF₂，OC⊥F₁F₂，且PA=PB，AF₁=F₁C，BF₂=CF₂．因为OC⊥F₁F₂，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．
由双曲线的性质可知
∵|PF₁|-|PF₂|=2a
∵|PF₁|=|PA|+|AF₁|，|PF₂|=|PB|+|BF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=（|PA|+|AF₁|）-（|PB|+|BF₂|）=|CF₁|-|CF₂|=2a，
又∵|CF₁|+|CF₂|=2c，联立可得CF₂=c-a，∵F2（c，0），
∴C（a，0）．
∴O点横坐标就为a，故③正确．
故答案为①③

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知P是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A1，A..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。

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