双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为26，右焦点为F（c，0）（c＞0），直线l：x=a2c与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若AP?AQ=0，-数学试题及答案

1、试题题目：双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为26，右焦点为F（c，0）（c＞0），直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为2

6

，右焦点为F（c，0）（c＞0），直线l：x=

a2

c

与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若

AP

?

AQ

=0，求直线PQ的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与双曲线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知

a2+6=c2

c=

3a2

c

解得a=

3

，c=3
所以双曲线的方程：

x2

3

-

y2

6

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），
当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3．此时，

AP

?

AQ

≠0，应舍去．
当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k（x-3）．
由方程组

x2

3

-

y2

6

=1

y=k(x-3)

得（k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k²-2≠0，即k≠±

2

，
由于△=36k⁴-4（k²-2）（9k²+6）=48（k²+1）＞0得k∈R．
∴k∈R且k≠±

2

（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=

6k2

k2-2

(1)

x1x2=

9k2+6

k2-2

(2)

由直线PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]（3）
∵

AP

?

AQ

=0，
∴（x₁-1，y₁）?（x₂-1，y₂）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得

9k2+6

k2-2

-

6k2

k2-2

+1+k2(

9k2+6

k2-2

-3

6k2

k2-2

+9)=0
整理得k²=

1

2

，
∴k=±

2

满足（*）
∴直线PQ的方程为x-

2

y-3=0或x+

2

y-3=0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为26，右焦点为F（c，0）（c＞0），直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：