某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个-数学试题及答案

1、试题题目：某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．
（Ⅰ）建立坐标系并写出该双曲线方程；
（Ⅱ）求冷却塔的容积（精确到10m³，塔壁厚度不计，π取3.14）．

试题来源：江西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与双曲线的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴．
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，则a=

1

2

AA′=7．
又设B（11，y₁），C（9，y₂），
因为点B、C在双曲线上，所以有

112

72

-

y

21

b2

=1，①

92

72

-

y

22

b2

=1，②
由题意知y₂-y₁=20．③
由①、②、③得y1=-12，y2=8，b=7

2

．
故双曲线方程为

x2

49

-

y2

98

=1；
（II）由双曲线方程得x2=

1

2

y2+49．
设冷却塔的容积为V（m³），则V=π

∫

y2y1

x2dy=π

∫

8-12

(

1

2

y2+49)dy=π(

1

6

y3+49y)

|

8-12

，
∴V≈4.25×10³（m³）．
答：冷却塔的容积为4.25×10³（m³）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与双曲线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与双曲线的应用”。

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