已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l1、l2．（1）求曲线C的方程-数学试题及答案

1、试题题目：已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-12 07:30:00

试题原文

已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l₁、l₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线l₁、l₂互相垂直；
（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：求过两点的直线的斜率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，
∴曲线C是以F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，其方程为x²=4y
（2）焦点F（0，1），设直线AB：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直线方程与抛物线方程联立得x²-4kx-4=0，
∴x₁x₂=-4，又y'=

1

2

x，
∴直线l₁的斜率为k₁=

1

2

x₁，直线l₂的斜率为k₂=

1

2

x₂，
∴k₁k₂=

1

4

?x₁x₂=-1，即直线l₁和l₂互相垂直．
（3）假设y轴上存在一点R（0，y₀），使得直线RF始终平分∠ARB，则有k_AR+k_BR=0
∴

y0-y1

0-x1

+

y0-y2

0-x2

=0
∴x₂（y₀-y₁）+x₁（y₀-y₂）=0∴y₀（x₂+x₁）-（x₂y₁+x₁y₂）=0
∴y0(x2+x1)-

1

4

x1x2( x2+x1)=0
∴y₀+1=0∴y₀=-1，即存在R（0，-1）满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中求过两点的直线的斜率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中求过两点的直线的斜率”。

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