已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*．-数学试题及答案

1、试题题目：已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-12 07:30:00

试题原文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足

，并记T_n为{b_n}的前n项和，
求证：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N*．

试题来源：月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：比较法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由

，解得a₁=1或a₁=2，
由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由

，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n﹣3）=0，
即a_n+1﹣a_n﹣3=0或a_n+1=﹣a_n，
因a_n＞0，故a_n+1=﹣a_n不成立，舍去
因此a_n+1﹣a_n=3，
从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{a_n}的通项为a_n=3n﹣1
（2）证明：由

可解得

；
从而

因此

令

，
则

、
因（3n+3）³﹣（3n+5）（3n+2）²=9n+7＞0，
故f（n+1）＞f（n）
特别地

，
从而3T_n+1﹣log₂（a_n+3）=log₂f（n）＞0、
即3T_n+1＞log₂（a_n+3）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1＞1，且6Sn=（an+1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中比较法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中比较法”。

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