已知椭圆x2a2+y2a2-1=1(a＞1)的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），直线F1M与抛物线C相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M、N的坐标-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2a2-1=1(a＞1)的左右焦点为F1，F2，抛物线C..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

a2-1

=1(a＞1)的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直线F₁M与抛物线C相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（Ⅱ）若M、N两点恒在该椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1（1分）
所以椭圆焦点为F₁（-1，0）F₂（1，0）（2分）
又抛物线C的焦点为(

p

2

，0)∴

p

2

=1，p=2，∴C：y²=4x（3分）
∵M（x₁，y₁）在抛物线C上，
∴y₁²=4x₁，直线F₁M的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)（4分）
代入抛物线C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，（5分）
∵F₁M与抛物线C相切，∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，（6分）∴x₁=1，∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．（7分）
（Ⅱ）∵M、N两点在椭圆内部，∴|F₁M|+|F₂M|＜2a（9分）
即

22+22

+2＜2a，∴a＞

2

+1，（11分）
∴

1

a

＜

1

2

+1

=

2

-1，（12分）
∵c=1，∴离心率e=

1

a

＜

2

-1，（13分）
又e＞0，∴椭圆离心率的取值范围为(0，

2

-1)（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2a2-1=1(a＞1)的左右焦点为F1，F2，抛物线C..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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