已知数列{an}的首项为a1=1，且数列的前n项和Sn=n2an（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）猜想数列{an}（3）的通项公式，并用数学归纳法加以证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的首项为a1=1，且数列的前n项和Sn=n2an（n∈N*）．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且数列的前n项和S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想数列{a_n}（3）的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴an+1=

n

n+2

an
∴a2=

1

3

，a3=

1

6

，a4=

1

10

，a5=

1

15

，
（2）猜测an=

2

n(n+1)

；下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即a_k=

2

k(k+1)

则当n=k+1时，ak+1=

k

k+2

ak=

k

k+2

×

2

k(k+1)

=

2

(k+1)(k+2)

故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有a_n=

2

n(n+1)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的首项为a1=1，且数列的前n项和Sn=n2an（n∈N*）．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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