首项为正数的数列{an}满足an+1=14（an2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；（2）若对一切n∈N+都有an+1＞an，求a1的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：首项为正数的数列{an}满足an+1=14（an2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

首项为正数的数列{a_n}满足a_n+1=

1

4

（a_n²+3），n∈N₊．
（1）证明：若a₁为奇数，则对一切n≥2，a_n都是奇数；
（2）若对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：已知a₁是奇数，假设a_k=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得a_k+1=

a

2n

+3

4

=m（m-1）+1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n≥2，a_n都是奇数．
（2）法一：由a_n+1-a_n=

1

4

（a_n-1）（a_n-3）知，a_n+1＞a_n当且仅当a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，则0＜a_k+1＜

1+3

4

=1；
若a_k＞3，则a_k+1＞

32+3

4

=3．
根据数学归纳法得，0＜a₁＜1?0＜a_n＜1，?n∈N₊；
a₁＞3?a_n＞3，?n∈N₊．
综上所述，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．
法二：由a₂=

a

21

+3

4

＞a₁，得a₁²-4a₁+3＞0，于是0＜a₁＜1或a₁＞3．
a_n+1-a_n=

a

2n

+3

4

-

a

2n-1

+3

4

=

(an+an-1)(an-an-1)

4

，
因为a₁＞0，a_n+1=

a

2n

+3

4

，所以所有的a_n均大于0，
因此a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．
根据数学归纳法，?n∈N₊，a_n+1-a_n与a₂-a₁同号．
因此，对一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要条件是0＜a₁＜1或a₁＞3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“首项为正数的数列{an}满足an+1=14（an2+3），n∈N+．（1）证明：若a1为奇..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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